证实与盘算(7): 有限状态机(Finite State Machine)

证实与盘算(7): 有限状态机(Finite State Machine)

什么是有限状态机(Finite State Machine)?
什么是确定性有限状态机(deterministic finite automaton, DFA )?
什么是非确定性有限状态机(nondeterministic finite automaton, NDFA, NFA)?

[1] wiki-en: Finite state machine
[2] wiki-zh-cn: Finite state machine
[3] brilliant: finite-state-machines

上面的这3个地址里的先容已经写的很好了。第3个地址的是一个简约的FSM先容,对照适用,而且基本上能让你区分清晰DFA和NFA。然则本文照样实验对照清晰的梳理清晰它们之间的前因后果。

0x02 Deterministic finite automaton, DFA

简朴说,DFA包罗的是5个主要的部门:

  • \(Q\) = 一个有限状态聚集
  • \(\Sigma\) = 一个有限的非空输入字符集
  • \(\delta\) = 一系列的变换函数
  • \(q_0\) = 最先状态
  • \(F\) = 接受状态聚集

在有限状态机的图内里,有几个约定:

  • 一个圆圈示意非接受状态
  • 两个圆圈示意接受状态
  • 箭头示意状态转移
  • 箭头上的字符示意输入字符

例如下面两个DFA的图示:

DFA图1([3]):
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/DFAexample.svg/700px-DFAexample.svg.png
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DFA图2:
https://swtch.com/~rsc/regexp/fig0.png
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DFA的特征是,每个状态,输入一个新字符,都有一个唯一的输出状态

例如,DFA图1和图2的每个\(S_i\)在遇到0或者1时输出的状态时唯一的。

在DFA图1中,可以详细看下买个参数是什么([3]):

  • Q = \(\{s_1, s_2\}\)
  • \(\Sigma\) = {0,1}
  • \(q_0\) = \(s_1\)
    ​* F = {s_1}

稀奇的,我们看下转换函数聚集,现实上可以用一个表格来示意([3]):

当前状态 输入状态 输出状态
s1 1 s1
s1 0 s2
s2 1 s2
s2 0 s1

0x03 Nondeterministic finite automaton, NDFA, NFA

那么,NFA和DFA的区别是什么呢?下面两个NFA的图示:

NFA图1:
https://ds055uzetaobb.cloudfront.net/brioche/uploads/zgipUhyx8b-ndfa2.png?width=2400
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NFA图2:
https://swtch.com/~rsc/regexp/fig2.png
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NFA的特征是,和DFA相比:

  1. 每个状态,输入一个新字符,可能有多个差别的输出状态
  2. 每个状态,可以接受空输入字符,用符号\(\epsilon\)示意

例如NFA图2里,s2接受输入字符b之后,可能是s1,也可能是s3。而在NFA图1里,初始字符可以接受空输入\(\epsilon\),不消耗任何字符,转换为b或者e状态,而且照样个多路分支。

0x04 Regular Expression

[4] wiki-en: Regex Expression
[5] wiki-zh-cn: Regex Expression
[6] Regular Expression Matching Can Be Simple And Fast

正则表达式和DFA/NFA的关系是什么?我们先看看正则表达式自己。[4]和[5]的wiki里列出了许多正则的表达式符号,然则不如文章[6]简练适用。

首先,任何通配符都必须有逃逸字符。正则表达式的逃逸字符是\,例如\+不示意通配符,而示意的是匹配+字符。

其次,现实上凭据[6],正则表达式最主要的通配符就是三个:

  • e* 示意0个或多个e
  • e+ 示意1个或多个e
  • e? 示意0个或1个e

最后,凭据[6],正则表达式最基础的组合方式也就是三个:

  • e1e2 示意e1和e2的拼接
  • e1|e2 示意e1或者e2
  • e1(e2e3) 示意分组,括号里的优先级更高,和括号在四则运算表达式里的作用一样

这里稀奇提一下,若是上述里的e替换成了一个聚集,那么e*会酿成{e1,e2}*,这个叫做聚集{e1,e2}克林闭包(Kleene closure, Kleene operator, Kleene star),下面的两个wiki先容了它们的界说:

[7] wiki-en: Kleene closure
[8] wiki-zh-cn: 克林闭包

它的界说是递归方式的,令目的聚集是V:

  • $V_{0}={\epsilon }$
  • \(V_1\) = V
  • \(V_{i+1} = { wv : w ∈ V_i and v ∈ V } for each i > 0.\)

从而,V的克林闭包如下:
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一个克林闭包的例子如下:
{“ab”, “c”}* = {ε, “ab”, “c”, “abab”, “abc”, “cab”, “cc”, “ababab”, “ababc”, “abcab”, “abcc”, “cabab”, “cabc”, “ccab”, “ccc”, …}.

从而,也可以界说克林正闭包(Kleene Plus):
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一个克林正闭包的例子如下:
{“a”, “b”, “c”}+ = { “a”, “b”, “c”, “aa”, “ab”, “ac”, “ba”, “bb”, “bc”, “ca”, “cb”, “cc”, “aaa”, “aab”, …}.

0x05 Regular Expression 2 NFA

凭据文章[4],正则表达式的三个主要的通配符,可以通过如下的方式转换为对应的NFA,这里用[s]示意非接受状态,用[[s]] 示意接受状态:

表达式 e

[s]--e-->

表达式 e1e2

[s]--e1-->[]--e2-->

表达式 e1|e2

   --e1-->
  /
[s]
  \
   --e2-->

表达式 e?,可以看到它等价于e|\(\epsilon\)

   --e-->
  /
[s]
  \
   ------>

表达式 e*,上半部门本来有输出箭头,然则既然它能马上绕回去上一个状态(转N圈),就可以直接从下半部门的箭头出去

  --e--
 /     |
[s] <---
 \
  ------>

表达式 e+,我们可以看成是它的等价形式ee*,那么就是

        --e--
       /     |
--e-->[s] <---
       \
        ------>

然则我们可以简化下,把分支上半部门合并到左侧,由于左侧也是示意输入e然后到状态[s]

   ----
  ↓    |
--e-->[s]
       \
        ------>

有了这些基本的转换规则,就可以把正则表达式转换为NFA,这几个图最好自己着手画一下,不着手可能照样没有现实的感受。

0x06 NFA 2 DFA

由于NFA的界说是DFA的超集,一个DFA可以直接看做是一个NFA。
那么,NFA是否可以转化为DFA呢?

固然可以,很显然,对比DFA和NFA的区别,有两点要做到:

  • 需要祛除所有的空输入 \(\epsilon\)
  • 需要合并那些统一个字符的多路分支为一个分支,为了这点,转换后的DFA的每个状态是由NFA的状态组成的聚集,例如{a,b}作为一个整体组成转换后的DFA的一个状态

[9] nfa-2-dfa example
我们先看一个现实的例子[9],直接手工体验下这个转换历程:

DFA图3:
https://www.cs.odu.edu/~toida/nerzic/390teched/regular/fa/figures/nfa-dfa1.jpg
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【深度学习】perceptron(感知机)

目的是找到对应的NFA的5个部门,有2个是现成的,剩下3个:

  • 状态聚集Q
  • x 输入字符聚集E,这个保持稳定
  • x 初始状态q0,这个保持稳定
  • 转移函数聚集\(\delta\)
  • 输出状态聚集F

第1轮,思量DFA里的Q第1个元素{}

  1. 初始化Q={}
  2. NFA的初始状态是0,我们把{0}这个聚集,作为一个元素,加入Q,从而:
    • Q={ {0} }
  3. NFA里,下一个输入a后可以是状态1,也可以是状态2,也就是\(\delta\)(0, a) = {1, 2}。因此,对应的DFA里:
    • Q={ {0},{1,2} }
    • \(\delta\)({0}, a) = {1, 2}
  4. NFA里,\(\delta\)(0, b) = {},因此空集被加入到DFA的Q里:
    • Q = { {},{0},{1,2} }
    • \(\delta\)({0}, a) = {1, 2}, \(\delta\)({0}, b) = {}

第2轮,思量DFA里Q的第2个元素{1,2}

  1. 此时{1,2}在DFA的Q里,思量从{1,2}这个元素出发会到那里
  2. NFA里,\(\delta\)(1, a) = {1, 2}, \(\delta\)(2, a) = {},从而
    • DFA里新增 \(\delta\)({1,2}, a) = {1,2}, Q 则保持不动:
      • Q = { {},{0},{1,2} }
      • \(\delta\)({0}, a) = {1, 2}, \(\delta\)({0}, b) = {}, \(\delta\)({1,2}, a) = {1,2}
  3. NFA里\(\delta\)(1, b) = {}, \(\delta\)(2, b) = {1,3},从而
    • DFA里新增 \(\delta\)({1,2}, b) = {1,3}, Q 新增{1,3}:
      • Q = { {},{0},{1,2},{1,3} }
      • \(\delta\)({0}, a) = {1, 2}, \(\delta\)({0}, b) = {}, \(\delta\)({1,2}, a) = {1,2}, \(\delta\)({1,2}, b) = {1,3}

第3轮,思量DFA里Q的新增元素{1,3}

  1. NFA里,\(\delta\)(1, a) = {1, 2}, \(\delta\)(3, a) = {1, 2}
    • DFA新增\(\delta\)({1,3}, a) = {1, 2}, Q 则保持不动
      • Q = { {},{0},{1,2},{1,3} }
      • \(\delta\)({0}, a) = {1, 2}, \(\delta\)({0}, b) = {}, \(\delta\)({1,2}, a) = {1,2}, \(\delta\)({1,2}, b) = {1,3}, \(\delta\)({1,3}, a) = {1, 2}
  2. NFA里,\(\delta\)(1, b) = {}, \(\delta\)(3, b) = {}
    • DFA新增\(\delta\)({1,3}, b) = {}, Q 则保持不动
      • Q = { {},{0},{1,2},{1,3} }
      • \(\delta\)({0}, a) = {1, 2}, \(\delta\)({0}, b) = {}, \(\delta\)({1,2}, a) = {1,2}, \(\delta\)({1,2}, b) = {1,3}, \(\delta\)({1,3}, a) = {1, 2}, \(\delta\)({1,3}, b) = {}
  3. 没有新的状态,竣事,由于0和1是NFA的接受状态,Q内里有含有0和1的状态是DFA的接受状态,也就是F={ {0}, {1,2}, {1,3} }

至此,整个转换竣事,对应的DFA:

  • 状态聚集:Q = { {},{0},{1,2},{1,3} }
  • 转移函数:\(\delta\)({0}, a) = {1, 2}, \(\delta\)({0}, b) = {}, \(\delta\)({1,2}, a) = {1,2}, \(\delta\)({1,2}, b) = {1,3}, \(\delta\)({1,3}, a) = {1, 2}, \(\delta\)({1,3}, b) = {}
  • 输出状态聚集:F={ {0}, {1,2}, {1,3} }

则转换后的DNA如图:
https://www.cs.odu.edu/~toida/nerzic/390teched/regular/fa/figures/dfa1.jpg
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有了这个手工操作的履历,上面这个例子内里,频频做一个动作:

  • 获得一个新的DFA元素,例如{1,2}
  • 思量它接受一个输入,例如b,划分
    • 思量状态1接受b的转移状态聚集,{}
    • 思量状态2接受b的转移状态聚集, {1,3}
  • 因此,{1,2}接受b后,转换到{1,3}

太烦琐了,我们做一些简化:

  • 把转换后的DFA的元素符号为大写字母,例如T={1,2}, U={1,3};
  • 把上面这个操作历程写成一个函数:move(T,b)
  • 那么上面这个历程就是:move(T,b)=U
  • 这个历程就是示意找到所有T里的元素在NFA里经由输入b后能直接到达的状态的聚集U

进一步,若是在NFA里,某个s状态经由空转换\(\epsilon\)能到达的聚集,我们符号为\(\epsilon\)-closure(s)。

例如:

   -----> [1]
  /
[0]
  \
   ------> [2]

那么,\(\epsilon\)-closure(0) = {1,2}

进一步

              ---->[3]
             /
   -----> [1]----->[4]
  /         
[0]
  \
   ------> [2]

那么,\(\epsilon\)-closure(0) = {1,2,3,4}

这么看来,\(\epsilon\)闭包是不是很形象。

有了\(\epsilon\)-closure(s),我们固然可以对DFA里的T的每个元素做\(\epsilon\)-closure,于是就可以界说:

  • \(\epsilon\)-closure(T) = T里所有元素ti的\(\epsilon\)-closure(ti)的并集。

那么,我们上面的手工操作move(T,a),之后,若是对应的NFA里也有\(\epsilon\),我们要到达最最先的转换NFA到DFA的两个目的之一:

  • 需要祛除所有的空输入 \(\epsilon\)

我们就需要对上面讨论过的这个历程做升级:

  • 找到所有T里的元素在NFA里经由输入b后能直接到达的状态的聚集U

也就是去掉直接两个字,升级成:

  • 找到所有T里的元素在NFA里经由输入b后能到达的状态的聚集U

现实上,通过上面的讨论,经由烧脑,是可以明白到这个历程就是一个复合动作:

  • \(\epsilon\)-closure(move(T,b))

于是,再经由烧脑,我们可以获得NFA转换成DFA的子集组织法(subset construction)算法:

  1. T0=\(\epsilon\)-closure(q0); DFAState={}, DFAState[T0]=false; DFATransitioin={};
    • 其中q0是NFA的初始状态
    • 赋值为false,示意它还没有被符号
  2. 最先循环
    • 取出Q里的一个没有符号的元素,例如T。DFAState[T]=true马上符号它,示意处置过了。
      • 若是都符号了,退出循环
    • 对输入的每个字符a
      • 盘算U=\(\epsilon\)-closure(move(T,a))
      • 若是U不在DFAState内里,就加入:DFAState[U]=false;
      • 加入转换函数:DFATransitioin[T,a]=U
    • 继续循环

从而,正则表达式可以转成NFA,再进一步转成DFA,现实上NFA转成NFA后,最糟的情形,原来需要n个状态,DFA需要2^n个状态(由于n个状态的幂子集的每个元素都可能是DFA的接受状态)。

为了加深印象,可以在这个在线工具里输入正则表达式直接看到对应的NFA和DFA的效果:
[10] Regex => NFA => DFA – CyberZHG

0x07 Use State Machines

由于从Regex Expression到NFA到DFA,内里有一个地方是输入是用字符串的字符示意。会让人以为只有正则表达式需要DFA和NFA。

而现实上,我们可以在任何需要使用状态转换的地方用NFA和DFA。很自然的,需要思量这些观点:

  • 有哪些状态?应该界说哪些状态?例如一个操作最简朴的有Init/UnInit两种状态。
  • 输入是什么?程序里的输入是「行为」,可能是用户点击,也可能是某个事宜到达,在这些场景,你需要抽象这些输入,可以看成差别的「字符」,也可以凭据它们需要转换的状态,看成是统一个「字符」。
  • 输出是什么?固然是另外一个状态了。
  • 跟正则表达式什么关系?
    • 看法1: 没有关系,我们只体贴状态转换是否是在允许的操作内,若是不是就是程序泛起某种「未界说」行为,直接报错。这是消除Bugly的良方。
    • 看法2: 一个由某些输入字符组成的字符串,示意了由UI操作、事宜组成的操作序列,若是匹配,则示意这些操作聚集是正当的,否则就是中心某个步骤是「未界说的」。

若何更好的写一个DFA组成的状态机代码?这里有一个Unity3D框架里的状态机的开发注释,很清晰的构架:
[11] Unity3D里的FSM(Finite State Machine)有限状态机

下面我们看一个例子,在实践上,若何设计状态机的转换。

首先,经由思量,设计一组状态:

  • S={INIT,STARTING, PLAYING, STOP, ERROR}

其次,思量每个状态可以到达哪些状态:

  • INIT -> [ STARTING ], 初始状态可以到达最先中
  • STARTING -> [PLAYING, ERROR],最先中状态可以到达嬉戏中或者失足
  • PLAYING -> [STOP, ERROR], 嬉戏中可以到达住手或失足
  • ERROR -> [STOP],失足状态,做好失足处置后住手
  • STOP -> [INIT],竣事状态应该可以重置成初始化状态

因此,思量初始和住手状态:

  • 初始状态:INIT
  • 住手状态聚集:[STOP]

那么,可以逆向盘算每个状态允许的前置状态聚集(enableStates):

  • INIT: [STOP]
  • STARTING: [INIT]
  • PLAYING: [STARTING]
  • STOP: [PLAYING, ERROR]
  • ERROR: [STARTING, PLAYING]

练习题1:在这个状态转换中,Q、E、\(\Sigma\),q_0, F 划分是什么?
练习题2:它是DFA,照样NFA?
练习题3:若是是NFA,它有空输入转换么?
练习题4:若是是NFA,试下转成DFA?
练习题5:画出NFA/DFA的转换图。

实践中,我们会按需写如下的状态转换函数,代码只是示例:

function EnterState(toState, onPreEnter, onAction, onPostEnter){
	const fromState = this.state;
	if(enableStates[fromState].includes(toState)){
		onPreEnter(fromState, toState);
		this.state = toState;
		onPreEnter(fromState, toState);
		return true;
	}else{
		// log
		return false;
	}
}

现实上,若是思量输入字符后,可以做一个更完整的版本:

function enableToState(fromState, context){
	// 把context转换成抽象的字符
	const c = convertToAplha(fromState, context);

	// 凭据fromState和c找到对应的可能输出聚集
	const toState = DFATransitioin(fromState, c);

	return toState;
}

function EnterState(toState, onPreEnter, onAction, onPostEnter){
	const fromState = this.state;
	if(enableToState(fromState, context).includes(toState)){
		onPreEnter(fromState, toState);
		this.state = toState;
		onPreEnter(fromState, toState);
		return true;
	}else{
		// log
		return false;
	}
}

凭据现实需要,可以做的简朴,也可以做的仔细,差别层度上保证程序的准确性。然则现实上,状态机在网络协议的开发中对照常见,例如经典的TCP状态转换图:
[13] rfc-793:TRANSMISSION CONTROL PROTOCOL
证实与盘算(7): 有限状态机(Finite State Machine)

有限状态机很有用,可是为什么大部门程序员平时写程序没用到它呢?

[12] Why Developers Never Use State Machines

We seem to shy away from state machines due to misunderstanding of their complexity and/or an inability to quantify the benefits. But, there is less complexity than you would think and more benefits than you would expect as long you don’t try to retrofit a state machine after the fact. So next time you have an object that even hints at having a “status” field, just chuck a state machine in there, you’ll be glad you did.

这篇文章剖析了可能的缘故原由:「高估了它的庞大,以及低估了它的利益」,我觉的很有原理,稀奇是我发现在UI项目里使用严酷的状态机治理状态后,程序的问题更容易被trace,也更能保证程序准确之后,我发现状态机确实好用。

0x08 How using good theory leads to good programs?

而在这篇先容Thompson NFA的文章里,作者的两段话很有意思:

[6] Regular Expression Matching Can Be Simple And Fast

Historically, regular expressions are one of computer science’s shining examples of how using good theory leads to good programs. They were originally developed by theorists as a simple computational model, but Ken Thompson introduced them to programmers in his implementation of the text editor QED for CTSS. Dennis Ritchie followed suit in his own implementation of QED, for GE-TSS. Thompson and Ritchie would go on to create Unix, and they brought regular expressions with them. By the late 1970s, regular expressions were a key feature of the Unix landscape, in tools such as ed, sed, grep, egrep, awk, and lex.

Today, regular expressions have also become a shining example of how ignoring good theory leads to bad programs. The regular expression implementations used by today’s popular tools are significantly slower than the ones used in many of those thirty-year-old Unix tools.

这值得我们思索,程序是什么?

–end–

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